Определение и конструкция
Правилен шестоъгълник е равнинна фигура, която има шест страни с еднаква дължина и еднакви равни ъгли.
Ако си припомним формулата за сумата на ъглите на многоъгълник
180 ° (п-2),
Оказва се, че на тази фигура тя е равна на 720 °. Е, тъй като всички ъгли на фигурата са равни, лесно е да се изчисли, че всеки от тях е равен на 120 °.
За да се направи шестоъгълник е много проста, за това е достатъчно компаси и владетели.
Стъпковите инструкции ще изглеждат така:
прави се права линия и върху нея се поставя точка;- от тази точка се изгражда кръг (той е негов център);
- още две от същите са построени от пресечната точка на кръга с линията, те трябва да се събират в центъра.
- след това всички точки на първия кръг се свързват последователно по сегменти.
Ако желаете, можете да направите без линията, като нанесете пет равни кръга по радиуса.
Така получената цифра ще бъде правилен шестоъгълник и това може да бъде доказано по-долу.
Имотите са прости и интересни.
За да разберем свойствата на правилния шестоъгълник, има смисъл да го разделим на шест триъгълника:
Това ще помогне за по-нататъшно визуализиране на неговите свойства, основните от които са:
- диаметър на описаната окръжност;
- диаметър на вписания кръг;
- област;
- периметър.
Описаната окръжност и възможността за конструиране
Можете да опишете кръг около шестоъгълник, още повече, само един. Тъй като тази цифра е вярна, тя може да бъде направена съвсем просто: от два съседни ъгъла, задръжте вътре сисектор. Те се пресичат в точката О и образуват триъгълник заедно със страната между тях.
Ъглите между страната на шестоъгълника и bisectors ще бъдат 60 ° всяка, така че определено може да се каже, че триъгълник, например, AOB е равнобедрен. И тъй като третият ъгъл също ще бъде равен на 60 °, той също е равностранен. От това следва, че сегментите OA и OB са равни, което означава, че могат да служат като радиус на окръжност.
След това можете да преминете към следващата страна, а от ъгъла в точка С да нарисувате и ситектор. Ще получите друг равностранен триъгълник, а страната AB ще бъде обща за два едновременно, а операционната система ще бъде друг радиус, през който отива един и същ кръг. Общо ще има шест такива триъгълника и те ще имат общ връх в точката О. Оказва се, че ще бъде възможно да се опише кръгът, а той е само един, а радиусът му е равен на шестоъгълната страна:
R = a .
Затова е възможно да се изгради тази фигура с компас и владетел.
Е, площта на този кръг ще бъде стандартна:
S = πR²
Вписан кръг
Центърът на описаната окръжност съвпада с центъра на вписаното. За да се провери това, човек може да изтегли перпендикуляри от точка О към страните на шестоъгълника. Те ще бъдат височини на триъгълниците, които съставляват шестоъгълника. И в равнобедрен триъгълник, височината е средната на страната, върху която се намира. Така, тази височина не е нищо повече от средната перпендикулярна, която е радиусът на вписания кръг.
Височината на равностранен триъгълник се изчислява просто:
h² = a²- (a / 2) ² = a²3 / 4, h = a ()3) / 2
И тъй като R = a и r = h, се оказва, че
r = R (= 3) / 2 .
По този начин вписаният кръг минава през центровете на страните на правилен шестоъгълник.
Площта му ще бъде:
S = 3πa² / 4,
три четвърти от описаното.
Периметър и площ
От периметъра всичко е ясно, това е сумата от дължините на страните:
Р = 6а, или Р = 6R
Но площта ще бъде равна на сумата от всичките три триъгълника, в които шестоъгълникът може да бъде разделен. Тъй като площта на триъгълника се изчислява като половината от произведението на базата по височина, тогава:
S = 6 (a / 2) (a ()3) / 2) = 6a² ()3) / 4 = 3a² ()3) / 2 или
S = 3R2 ()3) / 2
Тези, които желаят да изчислят тази площ през радиуса на вписания кръг, могат да се направят по следния начин:
S = 3 (2r / )3) ² ()3) / 2 = r² (2√3)
Забавно изграждане
Триъгълник може да бъде вписан в шестоъгълник, чиито страни ще свържат върховете през едно:
Общо ще има двама от тях, а налагането им един на друг ще даде Давидовата звезда. Всеки един от тези триъгълници е равностранен. Това не е трудно да се провери. Ако погледнете отстрани на АС, тогава той принадлежи към два триъгълника едновременно - ВИЕ и AES. Ако в първия от тях AB = BC, а ъгълът между тях е 120 °, тогава всяка от останалите ще бъде 30 °. Оттук можете да направите логични заключения:
- Височината на ABC от върха B ще бъде равна на половината от страната на шестоъгълника, тъй като sin30 ° = 1/2. Онези, които искат да се убедят в това, могат да бъдат съветвани да преизчислят според Питагоровата теорема, той пасва идеално тук.
- Страната на AC ще бъде равна на два радиуса на вписания кръг, което отново се изчислява по същата теорема. Това означава, че AC = 2 (a ()3) / 2) = a ()3).
- Триъгълниците ABC, ETS и AEF са равни от двете страни и ъгълът между тях, а това предполага равенство на страните AC, CE и EA.
Пресичащи се един с друг, триъгълниците образуват нов шестоъгълник и също е правилен. Доказано е просто:
Ъгълът ABF е равен на ъгъла YOU. Така полученият триъгълник с основата АВ и безименния връх срещу него са равнобедрени.- Всички същите триъгълници, основата на които е страната на шестоъгълника, са равни на страната и в ъглите, съседни на нея.
- Триъгълниците във върховете на шестоъгълника са равностранечни и равни, което следва от предходния параграф.
- Ъглите на новообразувания шестоъгълник са 360-120-60-60 = 120 °.
Така фигурата отговаря на характеристиките на правилен шестоъгълник - тя има шест равни страни и ъгли. От равенството на триъгълниците във върховете е лесно да се извлече дължината на страната на новия шестостен:
d = a ()3) / 3
Това ще бъде радиусът на обиколката, описана около него. Радиусът на вписаното ще бъде половин размер на страната на големия шестоъгълник, което беше доказано при разглеждането на триъгълника ABC. Неговата височина е само половината от страната, следователно втората половина е радиусът на кръга, вписан в малкия шестоъгълник:
r₂ = a / 2
Площта на новия шестоъгълник може да се изчисли, както следва:
S = (3 ()3) / 2) (a ()3) / 3) ² = a ()3) / 2
Оказва се, че площта на шестоъгълника вътре в Давидовата звезда е три пъти по-малка от тази на голямата, в която е изписана звездата.
От теория към практика
Свойствата на шестоъгълника се използват много активно в природата и в различни области на човешката дейност. На първо място, става дума за болтове и гайки - капачките на първия и втория не са нищо повече от правилен шестоъгълник, ако не вземете предвид фаска. Размерът на ключовете съответства на диаметъра на вписания кръг - това е разстоянието между противоположните лица.
Шестоъгълната плочка също е намерила своето използване. Тя е много по-широко разпространена от четириъгълна, но е по-удобно да се постави: в един момент се срещат три плочки, а не четири. Композициите могат да бъдат много интересни:
Предлагат се и бетонни плочки за павета.
Разпространението на шестоъгълниците в природата е просто обяснено. По този начин, най-лесният начин за плътно прилепване на кръговете и топките в самолета, ако те имат същия диаметър. Поради тази причина, пчелните пити имат такава форма.